Considerando o triângulo retângulo abc determine as medidas a e b indicadas

General
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considerando o triângulo retângulo abc determine as medidas a e b indicadas

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Considerando o triângulo retângulo ABC, determine as medidas a e b indicadas

Resposta:
Para determinar as medidas ( a ) e ( b ) em um triângulo retângulo, geralmente utilizamos o Teorema de Pitágoras ou relações trigonométricas, dependendo das informações dadas (ângulos e/ou lados). Vamos abordar ambos os métodos de forma detalhada.

Solução com o Teorema de Pitágoras:

O Teorema de Pitágoras estabelece que, em um triângulo retângulo:

c^2 = a^2 + b^2

Onde:

  • ( c ) é a hipotenusa,
  • ( a ) e ( b ) são os catetos.

Passos:

  1. Identificação das medidas conhecidas:

    • Se as medidas da hipotenusa ( c ) e de um dos catetos (( a ) ou ( b )) forem fornecidas, podemos encontrar a outra medida.

    Exemplo: Se ( c = 10 ) e ( a = 6 ), então podemos encontrar ( b ).

  2. Aplicação do Teorema de Pitágoras:

    • Substitua os valores conhecidos na fórmula do Teorema de Pitágoras e resolva para a incógnita.

      10^2 = 6^2 + b^2
      100 = 36 + b^2
      b^2 = 100 - 36
      b^2 = 64
      b = \sqrt{64}
      b = 8

  3. Conclusão:

    • ( b = 8 )

Solução com Relações Trigonométricas:

Se conhecemos um ângulo além do ângulo reto (90°) e a medida de um lado do triângulo retângulo, podemos usar as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente.

Relações Trigonométricas:

  • ( \sin(\theta) = \frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}} )
  • ( \cos(\theta) = \frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}} )
  • ( \tan(\theta) = \frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}} )

Passos:

  1. Identificação do Ângulo e Medidas Conhecidas:

    • Suponha que conhecemos θ e a hipotenusa ( c ). Queremos encontrar os catetos ( a ) e ( b ).

  2. Aplicação das Funções Trigonométricas:

    • Vamos usar ( \sin(\theta) ) para encontrar ( a ):

      \sin(\theta) = \frac{a}{c} \implies a = c \cdot \sin(\theta)

    • Vamos usar ( \cos(\theta) ) para encontrar ( b ):

      \cos(\theta) = \frac{b}{c} \implies b = c \cdot \cos(\theta)

  3. Exemplo Prático:

    • Se ( \theta = 30^\circ ) e ( c = 10 ):

      a = 10 \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot 0.5 = 5
      b = 10 \cdot \cos(30^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 10 \cdot 0.866 = 8.66

  4. Conclusão:

    • ( a = 5 ) e ( b \approx 8.66 )

Conclusão Final:
Dependendo dos dados fornecidos, você pode escolher entre usar o Teorema de Pitágoras ou relações trigonométricas para determinar as medidas ( a ) e ( b ) em um triângulo retângulo. Se mais informações específicas forem fornecidas sobre o triângulo em questão, poderemos fornecer uma solução mais precisa.