Diketahui sistem persamaan linear tiga variabel: \begin{cases} 3x + 2y + 2z = 18 \ x + 4y + 2z = 20 \ 2x + 3y + 5z = 28 \end{cases} Berapakah hasil dari 6x - 2y + 3z?
Diketahui Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dan Solusinya
Mari kita selesaikan sistem persamaan linear berikut untuk menemukan nilai dari 6x - 2y + 3z:
[
\begin{cases}
3x + 2y + 2z = 18 \
x + 4y + 2z = 20 \
2x + 3y + 5z = 28
\end{cases}
]
Langkah Pertama: Eliminasi
Kita dapat mulai dengan mengeliminasi salah satu variabel. Di sini, mari kita eliminasi variabel z dari persamaan (1) dan (2).
- Persamaan (1): 3x + 2y + 2z = 18
- Persamaan (2): x + 4y + 2z = 20
Kurangkan persamaan (2) dari persamaan (1) untuk mengeliminasi z:
$$(3x + 2y + 2z) - (x + 4y + 2z) = 18 - 20$$
$$2x - 2y = -2$$
Sederhanakan:
$$x - y = -1 \quad \text{(Persamaan 4)}$$
Langkah Kedua: Eliminasi Lanjutan
Sekarang, eliminasi z antara persamaan (1) dan (3), serta gunakan hasil ini untuk eliminasi lebih lanjut.
- Persamaan (3): 2x + 3y + 5z = 28
Kali persamaan (1) dengan 5, dan persamaan (3) dengan 2 agar koefisien z sama:
$$15x + 10y + 10z = 90$$
$$4x + 6y + 10z = 56$$
Kurangkan persamaan yang baru ini:
$$(15x + 10y + 10z) - (4x + 6y + 10z) = 90 - 56$$
$$11x + 4y = 34 \quad \text{(Persamaan 5)}$$
Langkah Ketiga: Substitusi
Gunakan Persamaan 4 (x - y = -1) dan Persamaan 5 (11x + 4y = 34) untuk menemukan x dan y.
Substitusi x = y - 1 dari Persamaan 4 ke dalam Persamaan 5:
$$11(y - 1) + 4y = 34$$
$$11y - 11 + 4y = 34$$
$$15y = 45$$
$$y = 3$$
Substitusi y = 3 ke dalam x = y - 1:
$$x = 3 - 1$$
$$x = 2$$
Langkah Keempat: Temukan z
Substitusi x = 2 dan y = 3 ke dalam salah satu persamaan asli untuk menemukan z. Gunakan Persamaan (1):
$$3(2) + 2(3) + 2z = 18$$
$$6 + 6 + 2z = 18$$
$$2z = 6$$
$$z = 3$$
Hasil Akhir: Evaluasi 6x - 2y + 3z
Sekarang kita substitusi nilai x = 2, y = 3, dan z = 3 ke dalam ekspresi 6x - 2y + 3z:
$$6(2) - 2(3) + 3(3)$$
$$= 12 - 6 + 9$$
$$= 15$$
Jadi, hasil dari 6x - 2y + 3z adalah 15.