Tinggi kerucut yang terpotong

General
1

tinggi kerucut yang terpotong

2

Tinggi Kerucut Yang Terpotong (Frustum Kerucut)

Pengertian Kerucut Terpotong

Kerucut terpotong (sering disebut juga sebagai “frustum kerucut”) adalah bagian dari kerucut yang diperoleh ketika suatu kerucut dipotong oleh sebuah bidang sejajar dengan alasnya. Setelah pemotongan, bagian yang tersisa memiliki bentuk seperti tabung dengan ujung yang mengecil.

Pada kerucut terpotong, ada beberapa elemen penting yang perlu dipahami:

  • Jari-jari alas besar (R): Jari-jari bagian alas utama kerucut setelah dipotong.
  • Jari-jari alas kecil (r): Jari-jari bagian atas kerucut setelah dipotong.
  • Tinggi potongan (t): Jarak tegak lurus antara kedua alas (alas besar dan alas kecil).
  • Garis pelukis (s): Jarak miring dari sisi alas besar ke sisi alas kecil.

Cara Mencari Tinggi Kerucut yang Terpotong

Untuk menentukan tinggi kerucut asalnya, yang disebut dengan tinggi (H), kita memanfaatkan hubungan geometri antara kerucut awal dan kerucut kecil yang terpotong. Hal ini melibatkan penggunaan perbandingan segitiga serupa.

Rumus Tinggi Kerucut Asal:

H = \frac{t \cdot R}{R - r}

Di sini:

  • H adalah tinggi kerucut asal
  • t adalah tinggi dari kerucut terpotong
  • R adalah jari-jari alas besar
  • r adalah jari-jari alas kecil

Penjelasan Singkat:

Konsep ini muncul karena kerucut asal terdiri dari 2 bagian, yaitu kerucut kecil (bagian atas yang dipotong) dan kerucut terpotong. Kedua segitiga pembentuk kerucut bersifat serupa, sehingga panjang sisi-sisinya proporsional.

Contoh Soal

Soal 1:
Sebuah kerucut dipotong dan menghasilkan sebuah kerucut terpotong dengan data berikut:

  • Jari-jari alas besar R = 10 cm
  • Jari-jari alas kecil r = 6 cm
  • Tinggi kerucut terpotong t = 8 cm

Berapa tinggi asli kerucut H sebelum dipotong?

Penyelesaian:

Gunakan rumus:

H = \frac{t \cdot R}{R - r}

Substitusikan nilai:

H = \frac{8 \cdot 10}{10 - 6}
H = \frac{80}{4} = 20 \, \text{cm}

Jawaban:
Tinggi kerucut asli adalah 20 cm.

Rumus Terkait Kerucut Terpotong

Selain tinggi asli kerucut, ada beberapa rumus penting lain yang dapat digunakan terkait kerucut terpotong:

1. Volume Kerucut Terpotong

Rumus volume kerucut terpotong adalah:

V = \frac{1}{3} \pi t (R^2 + Rr + r^2)

Di sini:

  • V adalah volume kerucut terpotong
  • \pi adalah konstanta (22/7 atau 3.14159)
  • R adalah jari-jari alas besar
  • r adalah jari-jari alas kecil
  • t adalah tinggi kerucut terpotong

2. Luas Permukaan Kerucut Terpotong

Total luas permukaan kerucut terpotong terdiri dari:

  • Luas selimut kerucut:
L_{\text{selimut}} = \pi (R + r) s

( s adalah panjang garis pelukis yang dapat dihitung dengan teorema Pythagoras: s = \sqrt{t^2 + (R - r)^2})

  • Luas alas besar dan alas kecil:
L_{\text{alas}} = \pi R^2 \, (\text{alas besar}) \, + \pi r^2 \, (\text{alas kecil})

Total luas permukaan:

L_{\text{total}} = \pi (R + r) s + \pi R^2 + \pi r^2

Contoh Soal Lanjutan

Soal 2:
Jika diketahui kerucut terpotong memiliki:

  • R = 5 cm, r = 3 cm, t = 4 cm, dan \pi = 3.14,
    hitung garis pelukis (s), luas selimut, dan volume kerucut terpotong.

Penyelesaian:

  1. Garis Pelukis (s):
s = \sqrt{t^2 + (R - r)^2}
s = \sqrt{4^2 + (5 - 3)^2}
s = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 4.47 \, \text{cm}
  1. Luas Selimut (L_{\text{selimut}}):
L_{\text{selimut}} = \pi (R + r) s
L_{\text{selimut}} = 3.14 \cdot (5 + 3) \cdot 4.47
L_{\text{selimut}} = 3.14 \cdot 8 \cdot 4.47 = 112.2 \, \text{cm}^2
  1. Volume Kerucut (V):
V = \frac{1}{3} \pi t (R^2 + Rr + r^2)
V = \frac{1}{3} \cdot 3.14 \cdot 4 \cdot (5^2 + 5 \cdot 3 + 3^2)
V = \frac{1}{3} \cdot 12.56 \cdot (25 + 15 + 9)
V = \frac{1}{3} \cdot 12.56 \cdot 49
V = 205.03 \, \text{cm}^3

Jawaban:

  • Garis pelukis: 4.47 cm
  • Luas selimut: 112.2 cm²
  • Volume: 205.03 cm³

Jika ada pertanyaan lebih lanjut, jangan ragu bertanya! :blush: @anonymous13