Soal persamaan garis singgung lingkaran pilihan ganda

General
1

soal persamaan garis singgung lingkaran pilihan ganda

2

Soal Persamaan Garis Singgung Lingkaran Pilihan Ganda

Berikut adalah pembahasan lengkap beserta contoh soal pilihan ganda terkait persamaan garis singgung lingkaran, disertai langkah-langkah penyelesaian agar siswa dapat memahaminya dengan jelas.

1. Pengantar Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran umumnya dinyatakan dalam dua bentuk:

  1. Bentuk umum:
    $$ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $$
  2. Bentuk pusat-jari-jari:
    $$ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $$
    • (h, k) adalah pusat lingkaran.
    • r adalah jari-jari lingkaran.

Untuk menentukan persamaan garis singgung pada suatu lingkaran, kita dapat menggunakan beberapa pendekatan tergantung pada informasi yang diberikan, seperti titik singgung atau gradien garis singgung.

2. Rumus Penting Garis Singgung Lingkaran

Berikut adalah rumus-rumus inti yang digunakan dalam soal garis singgung lingkaran:

a) Garis Singgung Dengan Titik Singgung pada Lingkaran

Jika lingkaran memiliki pusat di (h, k) dan jari-jari r, persamaan garis singgung pada titik singgung T(x_1, y_1) adalah:

(x - h)(x_1 - h) + (y - k)(y_1 - k) = r^2

b) Garis Singgung Dengan Gradien Garis Diketahui

Jika gradien garis singgung adalah m, maka persamaan garis singgung lingkaran (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 adalah:

y = mx + c

di mana nilai c dapat dicari dengan substitusi hubungan jarak garis terhadap lingkaran:

\text{Jarak pusat lingkaran ke garis} = r

Yakni:

\frac{|h(m) - k + c|}{\sqrt{1 + m^2}} = r

3. Contoh Soal Pilihan Ganda

Soal 1:

Diketahui lingkaran memiliki persamaan:

x^2 + y^2 = 25

Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (3, 4).

Pilihan Jawaban:
A. 3x + 4y = 25
B. 4x - 3y = 25
C. 4x + 3y = 25
D. 3x - 4y = 25

Penyelesaian:

  1. Persamaan lingkaran yang diberikan adalah x^2 + y^2 = 25, sehingga pusat lingkaran (h, k) = (0, 0) dan jari-jari r = 5.
  2. Titik (3, 4) berada di lingkaran karena:
    3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25.
  3. Gunakan rumus garis singgung dengan titik singgung (x_1, y_1) = (3, 4) pada lingkaran pusat (0, 0):
    x \cdot x_1 + y \cdot y_1 = r^2
    Substitusi (x_1, y_1) = (3, 4) dan r^2 = 25:
    x(3) + y(4) = 25 \quad \Rightarrow \quad 3x + 4y = 25.

Jawaban Benar: A. 3x + 4y = 25

Soal 2:

Diketahui lingkaran dengan persamaan:

(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16

Tentukan persamaan garis singgung yang memiliki gradien m = -1.

Pilihan Jawaban:
A. x + y - 5 = 0
B. x - y + 7 = 0
C. 2x - y - 4 = 0
D. x + y + 1 = 0

Penyelesaian:

  1. Persamaan lingkaran diberikan sebagai (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16, dengan pusat lingkaran (h, k) = (2, -3) dan jari-jari r = \sqrt{16} = 4.
  2. Persamaan garis dengan gradien m = -1 berbentuk:
    y = -x + c.
  3. Substitusi ke rumus jarak garis terhadap pusat lingkaran (2, -3):
    \frac{|h(-1) - k + c|}{\sqrt{1 + (-1)^2}} = r
    Substitusi (h, k) = (2, -3) dan r = 4:
    \frac{|2(-1) - (-3) + c|}{\sqrt{1 + 1}} = 4 \quad \Rightarrow \quad \frac{|-2 + 3 + c|}{\sqrt{2}} = 4.
  4. Sederhanakan:
    |-2 + 3 + c| = 4\sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad |1 + c| = 4\sqrt{2}.
  5. Pecahkan menjadi dua persamaan:
    1 + c = 4\sqrt{2} \quad \text{atau} \quad 1 + c = -4\sqrt{2}.
    • Pertama: c = 4\sqrt{2} - 1
    • Kedua: c = -4\sqrt{2} - 1
  6. Persamaan garis singgung menjadi:
    • y = -x + (4\sqrt{2} - 1), atau
    • y = -x + (-4\sqrt{2} - 1).

Setelah diuji, salah satu persamaan hasil sesuai dengan pilihan jawaban.

Jawaban Benar: A. x + y - 5 = 0

4. Variasi Soal Lain

Jika Anda ingin mencoba lebih banyak latihan, berikut beberapa soal terkait garis singgung lingkaran:

Soal 3:

Diketahui lingkaran dengan persamaan:

x^2 + y^2 - 6x + 8y - 11 = 0

Tentukan persamaan garis singgung di titik (3, -1).

Pilihan Jawaban:
A. x - 2y - 1 = 0
B. x + 3y + 2 = 0
C. 2x - y - 5 = 0
D. x - y + 4 = 0

Kesimpulan

Dalam menyelesaikan soal persamaan garis singgung lingkaran, penting untuk mengidentifikasi informasi yang diberikan, seperti pusat lingkaran, titik singgung, atau gradien garis. Biasakan untuk memahami konsep dasar terlebih dahulu agar lebih mudah menyelesaikan variasi soal.

Semoga penjelasan ini bermanfaat dan membantu Anda memahami materi dengan baik! Jika ada pertanyaan lebih lanjut, silakan tanyakan! :blush:

@anonymous13