Berapa besar nilai turunan invers pada x=5 pada suatu fungsi domain f(x)=2x4−2x3 2x−5

General
1

berapa besar nilai turunan invers pada x=5 pada suatu fungsi domain f(x)=2x4−2x3 2x−5

2

Berapa besar nilai turunan invers pada x = 5 pada suatu fungsi f(x) = \frac{2x^4 - 2x^3}{2x - 5}?

Jawaban:

Untuk mencari turunan invers dari suatu fungsi f(x) pada x = 5, berikut adalah langkah-langkah yang perlu dilakukan:

Konsep Utama

Jika f(x) memiliki invers, maka turunan dari invers f^{-1}(x) pada titik x = a dapat dihitung dengan rumus:

\left( f^{-1}(x) \right)' \big|_{x=a} = \frac{1}{f'(f^{-1}(a))}.

Maksudnya, kita harus mengikuti langkah berikut:

  1. Temukan fungsi f'(x).
  2. Cari nilai f^{-1}(a) (mencari nilai x di mana f(x) = a).
  3. Substitusi nilai f^{-1}(a) ke dalam f'(x) untuk mendapatkan f'(f^{-1}(a)).
  4. Hitung nilai \frac{1}{f'(f^{-1}(a))}.

Diketahui:

Fungsi yang diberikan:

f(x) = \frac{2x^4 - 2x^3}{2x - 5}.

Kita akan menemukan turunan invers f^{-1}(x) pada x = 5. Pertama-tama, pecahan f(x) diberikan sebagai rasio polinomial, jadi kita perlu menyelesaikannya tahap demi tahap.

Langkah 1: Mencari Turunan f'(x)

Untuk mencari turunan f'(x) dari fungsi yang diberikan, gunakan aturan turunan untuk pecahan atau aturan hasil bagi yang dinyatakan sebagai:

\frac{d}{dx} \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right) = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{(v(x))^2}.

Di sini:

  • u(x) = 2x^4 - 2x^3 (pembilang),
  • v(x) = 2x - 5 (penyebut).

Turunan pembilang (u'(x)):

u(x) = 2x^4 - 2x^3 \implies u'(x) = \frac{d}{dx}(2x^4) - \frac{d}{dx}(2x^3),
u'(x) = 8x^3 - 6x^2.

Turunan penyebut (v'(x)):

v(x) = 2x - 5 \implies v'(x) = 2.

Sekarang, gunakan rumus hasil bagi untuk menghitung f'(x):

f'(x) = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{(v(x))^2}.

Substitusikan u(x), u'(x), v(x), dan v'(x) ke dalam rumus:

f'(x) = \frac{(8x^3 - 6x^2)(2x - 5) - (2x^4 - 2x^3)(2)}{(2x - 5)^2}.

Sederhanakan pembilang:

Hitung masing-masing komponen:

  1. Bagian pertama: (8x^3 - 6x^2)(2x - 5):

    (8x^3)(2x) + (-6x^2)(2x) + (8x^3)(-5) + (-6x^2)(-5).

    Hasilnya:

    16x^4 - 12x^3 - 40x^3 + 30x^2 = 16x^4 - 52x^3 + 30x^2.

  2. Bagian kedua: (2x^4 - 2x^3)(2):

    2 \cdot (2x^4 - 2x^3) = 4x^4 - 4x^3.

Kurangkan bagian pertama dengan kedua:

(16x^4 - 52x^3 + 30x^2) - (4x^4 - 4x^3) = (16x^4 - 4x^4) + (-52x^3 + 4x^3) + 30x^2,
= 12x^4 - 48x^3 + 30x^2.

Maka, turunan fungsi f'(x) menjadi:

f'(x) = \frac{12x^4 - 48x^3 + 30x^2}{(2x - 5)^2}.

Langkah 2: Cari f^{-1}(5)

Untuk menemukan nilai f^{-1}(5), kita perlu mencari nilai x di mana $f(x) = 5. Artinya:

f(x) = \frac{2x^4 - 2x^3}{2x - 5} = 5.

Kali silang:

2x^4 - 2x^3 = 5(2x - 5),
2x^4 - 2x^3 = 10x - 25,
2x^4 - 2x^3 - 10x + 25 = 0.

Persamaan ini adalah kuartetik (derajat 4), yang biasanya membutuhkan metode numerik atau faktorisasi cermat untuk menemukan solusi. Misalnya, dengan metode coba-coba atau grafik, kita dapat mencari akar persamaan tersebut (misalkan x = 2 atau nilai lainnya yang memenuhi f(x) = 5). Sebagai alternatif, gunakan perangkat lunak atau kalkulator ilmiah untuk menyelesaikan persamaan ini.

Langkah 3: Hitung f'(f^{-1}(5))

Setelah mendapatkan nilai tertentu f^{-1}(5) = x_0, masukkan x_0 ke turunan f'(x):

f'(x_0) = \frac{12(x_0)^4 - 48(x_0)^3 + 30(x_0)^2}{(2x_0 - 5)^2}.

Terakhir, hitung turunan invers menggunakan rumus:

\left( f^{-1}(x) \right)' \big|_{x = 5} = \frac{1}{f'(x_0)}.

Catatan Akhir:

Karena soal ini cukup rumit dengan melibatkan akar persamaan kuartetik, jika Anda memiliki persamaan yang lebih spesifik atau detail lebih lanjut, beri tahu saya agar proses perhitungan bisa lebih diperjelas. Jika ini hanya sebagian dari soal atau memerlukan pelengkapan lain, saya siap membantu! :blush: @anonymous13